I. Sử dụng phương pháp quy nạp tính tổng dãy số – Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

$S_n=a_1+a_2+...+a_n(*)$

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng $S_n=1+3+5+...+(2n-1)$

* Hướng dẫn: (Sử dụng phương pháp quy nạp)

- Đầu tiên, ta thử với n = 1 ta có $S_1=(2.1-1)=1$

- Thử với n = 2, ta có: $S_2=(2.1-1)+(2.2-1)=1+3=4=2^2$

- Thử với n = 2, ta có: $S_3=(2.1-1)+(2.2-1)+(2.3-1)=1+3+5=9=3^2$

...

- Ta dự đoán: $S_n=1+3+5+...+(2n-1)=n^2$

* Phương pháp quy nạp: $S_n=1+3+5...(2n-1)=n^2$

Với n = 1; $S_1=1\left(đúng\right)$

Giả sử đúng với n=k(k$\ne$1), tức là:

$S_k=1+3+5...(2k-1)=k^2\left(1\right)$

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

$S_{k+1}=1+3+5...(2k-1)(2k+1)={(k+1)}^2$

Vì ta đã giải sử $S_k$ đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1+3+5...+(2k-1)=$k^2$

1+3+5...+(2k-1)+(2k+1)=$k^2$ (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế)

Từ đó $\Rightarrow$1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=$k^2$+2k+1 = ${(k+1)}^2$

* Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

$1) S_n=1+3+5+...+n=\frac{n(n+1)}{2}; \forall n\in N$

$2) S_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$3)S_n=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$

$4)S_n=1^5+2^5+3^5+...+n^5=\frac{1}{12}.n^2{(n+1)}^2.(2n^2+2n-1)$

II. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

- Giả sử cần tính tổng: $S_n=a_1+a_2...a_n(*)$ mà ta có thể biểu diễn $a_i$. i = 1,2,3...n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

$$\begin{gathered} a_1=b_1-b_2 \\ {a}_2=b_2-b_3 \\ ... \\ {a}_n=b_n-b_{n+1} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$khi đó ta có: $S_n=(b_1-b_2)(b_2-b_3)...(b_n-b_{n+1})$

Ví dụ 1: Tính tổng:

$S=\frac{1}{10.11}+\frac{1}{11.12}+\frac{1}{12.13}+...+\frac{1}{99.100}$

* Hướng dẫn: Ta có:

$\frac{1}{10.11}=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}; \frac{1}{11.12}=\frac{1}{11}-\frac{1}{12};$

$\frac{1}{12.13}=\frac{1}{12}-\frac{1}{13};...;\frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{9}{100}$

* Dạng tổng quát

$S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

Ví dụ 2: Tính tổng

$S_n=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

* Hướng dẫn: - Ta có:

$\frac{1}{1.2.3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}\right); \frac{1}{2.3.4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}\right)$

$\frac{1}{n.(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n.(n+1)}-\frac{1}{(n+1).(n+2)}\right)$

$\Rightarrow S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}\right)+...+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n.(n+1)}-\frac{1}{(n+1).(n+2)}\right)$

$\iff S_n=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$

$\iff S_n=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

Ví dụ 3: Tính tổng

$S_n=\frac{3}{{(1.2)}^2}+\frac{5}{{\left(2.3\right)}^2}+...+\frac{2n+1}{{\left[n(n+1)\right]}^2}$

* Hướng dẫn: - Ta có:

$\frac{2i+1}{{\left[i\right(i+1\left)\right]}^2}=\frac{1}{i^2}-\frac{1}{{(i+1)}^2}; i = 1; 2; 3;...; n$

$\Rightarrow S_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+...+\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{(n+1)}^2}\right)$

$=\left(1-\frac{1}{{(n+1)}^2}\right)=\frac{n(n+2)}{{(n+1)}^2}$

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

Ví dụ 1: Tính tổng: $S=1+2+2^2+...+2^{100}(*)$

* Hướng dẫn:

Cách 1: Ta viết lại S như sau

$S=1+2(1+2+2^2+...+2^{99})$

$S=1+2(1+2+2^2+...+2^{99}+2^{100}-2^{100})$

$$\begin{gathered} \Rightarrow S=1+2(S-2^{100})=1+2S-2^{101} \\ \Rightarrow S=2^{101}-1 \end{gathered}$$

Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

$2S=2(1+2+2^2+...+2^{100})$

$\iff 2S=2+2^2+2^3+...+2^{101}(**)$

$- Lấy (**) trừ đi (*) ta được$

$2S-S=(2+2^2+2^3+...+2^{101})-(1+2+2^2+...+2^{100})$

$\iff S=2^{101}-1$

* Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1+a+a^2+...+a^n;(a,n\in N, a>1, n\ge 1)$

$Ta nhân cả 1 của S_n với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: S_n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

Ví dụ 2: Tính:

$S=1-2+2^2-2^3+2^4-...-2^{99}+2^{100}$

* Hướng dẫn: Ta có:

$2S=2(1-2+2^2-2^3+2^4-...-2^{99}+2^{100})$

$\iff 2S=2-2^2+2^3-2^4+2^5-...-2^{100}+2^{101}$

$\iff 2SS=(2-2^2+2^3-2^4+2^5-...-2^{100}+2^{101})(1-2+2^2-2^3+2^4-...-2^{99}+2^{100})$

$\iff 3S=2^{101}+1$

$\Rightarrow S=\frac{2^{101}+1}{3}$

* Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1-a+a^2-a^3+...-a^{2n-1}+a^{2n; (a, n \in N, a> 1; n \ge 1)}$

Ta nhân cả 2 vế của $S_n$ với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: $S_n=\frac{a^{2n+1}+1}{a+1}$

Ví dụ 3: Tính tổng:

$S=1+3^2+3^4+...+3^{98}+3^{100}$

Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với $3^2$ rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

$S=1+3^2+3^4+...+3^{98}+3^{100}$

$\iff 3^{2}S = 3^2(1+3^2+3^4+...+3^{98}+3^{100})$

$\iff 9S=3^2+3^4+...+3^{100}+3^{102}(**)$

$- Ta trừ vế với vế của (**) cho (*) được:$

$9S-S=(3^2+3^4+...+3^{100}+3^{102})-(1+3^2+3^4+...+3^{98}+3^{100})$

$\iff 8S=3^{102}-1$

$\Rightarrow S=\frac{3^{102}-1}{8}$

* Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1+a^d+a^{2d}+...+a^{nd}; (a, n, d \in N; a > 1)$

Ta nhân cả 2 vế của $S_n$ với $a^d$. Rồi TRỪ vế với vế ta được:

$S_n=\frac{a^{(n+1)d}-1}{a^d-1}$

Ví dụ 4: Tính

$S=1-2^3+2^6-2^9...+2^{96}-2^{99} (*)$

Hướng dẫn

- Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với $2^3$ ta được:

$2^{3}S=2^3(1-2^3+2^6-2^9+...+2^{96}-2^{99})$

$\Rightarrow 8S=2^3-2^6+2^9-2^{12}+...+2^{99}-2^{102}(**)$

$- Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được$

$8SS =(2^3-2^6+2^9-2^{12}+...+2^{99}-2^{102})(1-2^3+2^6-2^9+...+2^{96}-2^{99})$

$\iff 9S = 1-2^{102}\Rightarrow S=\frac{1-2^{102}}{9}$

* Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1-a^d+a^{2d}-a^{3d}+...+a^{nd}; (a, n, d \in N; a > 1)$

$Ta nhân cả 2 vế của S_n với a^d. Rồi CỘNG vế với vế ta đuợc:$

$S_n=\frac{1-a^{(n+1)d}}{a^d+1}$

IV. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức: 

Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

V. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

 

* Ký hiệu: $\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+...+a_n$

*Tính chất:

$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{i=1}^n{b}_i$

$\sum _{i=1}^{n}a.a_i=a\sum _{i=1}^n{a}_i$

* Ví dụ: Tính tổng: $S_n$=1.2+2.3+3.4+...+n(n1)

* Hướng dẫn

- Ta có: $S_n=\sum _{i=1}^{n}i(i+1)=\sum _{i=1}^n(i^2+i)=\sum _{i=1}^n{i}^2+\sum _{i=1}^{n}i$

- Mặt khác, lại có:

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} (theo PP quy nạp ở mục I)$

$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} (theo PP quy nạp ở mục I)$

$\Rightarrow S_n=\frac{n(n+2)}{2}+\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{2(n+1)(n+2)}{3}$

VI. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

$a) S=6+6^2+6^3+...+6^{99}+6^{100}$

$b) S=5+11+17+...+95+101$

$c) S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}$

$d)S=\frac{6}{5.7}+\frac{6}{7.9}+\frac{6}{9.11}+...+\frac{6}{57.59}$

Bài tập 2: Chứng minh:

$a) 1.4+4.7+4.70...(3n-2\left)\right(3n+1)=n{(n+1)}^2$

$b)\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^2}=1-\frac{1}{2^2}$