1. Tam giác cân và tính chất

* Định nghĩa:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trong hình 4.58, tam giác cân ABC (AB = AC) được gọi là cân tại đỉnh A, hai cạnh AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, góc B và C là hai góc ở đáy, góc A là góc ở đỉnh.

       Hình 4.58

Câu hỏi

Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Hướng dẫn giải:

+) Tam giác ABD cân tại đỉnh A có:

AB, AD là 2 cạnh bên

BD là cạnh đáy

$\hat{B},\hat{D}$ là 2 góc ở đáy

 là góc ở đỉnh

+) Tam giác ADC cân tại A có:

AC, AD là 2 cạnh bên

DC là cạnh đáy

$\hat{C},\hat{D}$ là 2 góc ở đáy

 là góc ở đỉnh

+) Tam giác ABC cân tại A có:

AB, AC là 2 cạnh bên

BC là cạnh đáy

 $\hat{C},\hat{B}$ là 2 góc ở đáy

$\hat{A}$ là góc ở đỉnh

HĐ 1

Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

          Hình 4.60

a) Chứng minh rằng ΔABD = ΔACD theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Hướng dẫn giải:

a)      Xét hai tam giác ABD và ACD có:

AB  = AC

AD chung

B D = DC

=> ΔBD = ΔACD (c.c.c)

b) Do ΔABD = ΔACD nên  $\hat{C}=\hat{B}$ (2 góc tương ứng)

HĐ 2

Cho tam giác MNP có  Vẽ tia phân giác PK của tam giác MNP (K∈MN).

                 Hình 4.61

Chứng minh rằng:

a)  $\widehat{MKP}=\widehat{NKP}$;

b) ΔMPK=ΔNPK;

c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Hướng dẫn giải:

1. Xét tam giác MPK có:

 $\widehat{MKP}+\widehat{MPK}+\widehat{KMP}$ = 180^o

Xét tam giác NPK có:

 $\widehat{NKP}+\widehat{NPK}+\widehat{KNP}$ = 180^o

Mà  $\widehat{KMP}=\widehat{KNP},\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$

Suy ra $\widehat{MKP}=\widehat{NPK}$

b)Xét hai tam giác MPK và NPK có:

$\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$

PK chung

$\widehat{MKP}=\widehat{NKP}$

=> ΔMPK = ΔNPK (g.c.g)

c) Do ΔMPK = ΔNPK nên MP = NP (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác MNP cân tại P.

* Tính chất của tam giác cân:

Trong một tam giác cân, 2 góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, nếu một tam giác có 2 góc bằng nhau thì tam giác đó cân.

Luyện tập 1

Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

      Hình 4.62

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Vì tam giác DEF có DF = FE (= 4cm) nên tam giác DEF cân tại F.

Mà $\hat{E}$ = 60^o

Do đó, ΔDEF đều. (Tam giác cân có 1 góc bằng  ^O)

⇒ $\hat{D}=\hat{F}=\hat{E}={60}^o$

Cách 2: Xét tam giác DEF có DF = FE (=4cm) nên tam giác DEF cân tại F.

Suy ra  $\hat{D}=\hat{E}={60}^o$

( tính chất tam giác cân)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác vào tam giác DEF, ta có:

$\hat{D}+\hat{F}+\hat{E}={60}^o$

⇒${60}^o+\hat{F}+{60}^o={180}^o$

⇒  $\hat{F}={60}^o$

Nhận xét: Tam giác DEF có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Đó là một tam giác đều

Thử thách nhỏ

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau?

b) Tam giác cân có một góc bằng 60^o ?

Hướng dẫn giải:

a)      Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

b)      Tam giác cân có 1 góc bằng 60^o là tam giác đều.

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

HĐ 3

Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Hướng dẫn giải:

a)      O có là trung điểm của đoạn thẳng AB vì OA = OB

b)      Dùng thước đo góc ta thấy d có vuông góc với AB.

* Định nghĩa:

Đường thẳng vuông góc với 1 đoạn thẳng tại trung điểm của nó là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường trung trực của 1 đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

Câu hỏi

Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

                    Hình 4.64

Hướng dẫn giải:

Do: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nên hình a) Lan vẽ đúng.

HĐ 4

Trên mảnh giấy trong HĐ3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d dùng thước kiểm tra ta thấy AM bằng BM.

* Tính chất đường trung trực

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó.

Luyện tập 2

Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và   $\widehat{MAB}={60}^o$ (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

   Hình 4.67

Hướng dẫn giải:

Vì M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB = 3cm.

⇒Tam giác MAB cân tại M.

⇒  $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}={60}^o$

BÀI TẬP

Bài 4.23

Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

       Hình 4.69

Hướng dẫn giải:

Do tam giác ABC cân tại A nên:   $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  (tính chất tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

 $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

BC chung

=> ΔBFC = ΔCEB (cạnh huyền – góc nhọn)

=> CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Bài 4.24:

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

 

Hướng dẫn giải:

Xét 2 tam giác AMB và AMC có:

AM chung

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB = MC (gt)

⇒ ΔAMB=  ΔAMC (c.c.c)

⇒   $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$  (2 góc tương ứng).

Mà tia AM nằm trong góc BAC

⇒ AM là phân giác của góc BAC

Mặt khác: Do ΔAMB = ΔAMC nên   $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$  (2 góc tương ứng)

 mà  $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^o$ (2 góc kề bù)

Nên:   $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}={90}^o$

Vậy AM vuông góc với BC.

Bài 4.25

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải:

 

a)

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM = CM (gt)

=> ΔAMC=  ΔAMB (hai cạnh góc vuông)

=> AC = AB (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABC cân tại A

b)
Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB)

     MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGM có:

AM chung

  $\widehat{HAM}=\widehat{GAM}$  (do AM là tia phân giác của góc BAC)

=> ΔAHM = ΔAGM (cạnh huyền – góc nhọn)

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM (giả thiết)

MH=MG (chứng minh trên)

=> ΔBHM = ΔCGM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>   $\widehat{HBM}=\widehat{GCM}$ (2 góc tương ứng)

=> Tam giác ABC cân tại A.

Bài 4.26:

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải:

a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông

=> Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

$\hat{x}+\hat{x}+{90}^o={180}^o\Rightarrow 2.\hat{x}={90}^o\Rightarrow \hat{x}={45}^o$

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

$\hat{x}$ + 45^o + 90^o = 180^o ⇒ =  45^o

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Bài 4.27

Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

          Hình 4.70

Hướng dẫn giải:

Quan sát hình 4.70 ta thấy đường thẳng m vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của AB nên m là đường trung trực của AB.

Bài 4.28:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải:

Vì ΔABC cân tại A nên AB = AC.

Xét 2 tam giác vuông ADC và ADB có:

AD chung

AC = AB (cmt)

=> ΔADC = ΔADB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=> CD = BD (2 cạnh tương ứng)

=> D là trung điểm của BC.

Mà AD ⊥ BC tại D

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Bài học/ Tin tức qua truyện tranh:

---